Question

【题目】已知函数f(x)= －，g(x)= ．

（1）若，函数的图像与函数的图像相切，求的值；

（2）若， ，函数满足对任意（x1x2），都有恒成立，求的取值范围；

（3）若，函数=f(x)+ g(x),且G()有两个极值点x1,x2,其中x1，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）设切点为),则切线方程为，所以解方程组即可得结果；（2）不妨设，原不等式等价于.设，则原不等式转化为在上递减，只需在上恒成立即可；（3）= ,,由题意知是的两根，利用韦达定理 ，利用导数求出=2的最小值即可.

试题解析：(1)若b=0，函数f(x)=x的图像与g(x)=2alnx的图像相切，设切点为(x0,2alnx0),则切线方程为y=，所以得.所以a=.

(2)当a>0,b=-1时，F(x)=x2+1+2alnx，F＇(x)=2x+>0,所以F(x)在(0,1]递增.

不妨设0<x1<x21，原不等式F(x2)-F(x1)<3()，即F(x2)+ < F(x1)+ .

设h(x)= F(x)+ = x2+1+2alnx+，则原不等式h(x)在(0,1]上递减

即h＇(x)=2x+-在(0,1]上恒成立.所以2a-2x2在(0,1]上恒成立.

设y=-2x2,在(0,1]上递减，所以ymin=3-2=1，所以2a1，又a>0，所以0<a.

(3)若b=1,函数G(x)=f(x)+g(x)=x+2alnx

G/(x)= ,(x>0),由题意知x1,x2是x2+2ax+1=0的两根，

∴x1x2=1, x1+x2=－2a,x2=,2a=,

G(x1)-G(x2)=G(x1)-G()=

令H(x)=2[], H＇(x)=2()lnx=

当时，H/(x)<0, H(x)在上单调递减，H(x)的最小值为

即G(x1)-G(x2) 的最小值为