题目内容
【题目】设函数
， 
.
（1）求函数
的单调区间；
（2）若函数
在
处取得极大值，求正实数
的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）正实数
的取值范围为
。
【解析】试题分析：（1）求出
，分两种情况讨论，分别令
求得
的范围，可得函数
增区间， 
求得
的范围，可得函数
的减区间；（2）讨论
的取值范围，分别利用导数研究函数的单调性，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论.
试题解析：（1）由
，
所以
.
当
时， 
，函数
在
上单调递增；
当
时， 
，函数
单调递增， 
时， 
，函数
单调递减.
所以当
时， 
的单调增区间为
；
当
时， 
的单调增区间为
，单调减区间为
.
（2）∵
，
∴
且
.
由（1）知①当
时， 
，由（1）知
在
内单调递增，可得当
时， 
，当
时， 
.
所以
在
内单调递减，在
内单调递增，所以
在
处取得极小值，不合题意.
②当
时， 
， 
在
内单调递增，在
内单调递减，所以当
时， 
， 
单调递减，不合题意.
③当
时， 
，当
时， 
， 
单调递增，当
时， 
， 
单调递减.
所以
在
处取得极大值，符合题意.
综上可知，正实数
的取值范围为
.
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