Question

（本小题满分12分）
已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.
（1）求曲线的方程；
（2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.

Answer 1

（1）.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析.

试题分析：（1）思路一：设为曲线上任意一点，
依题意可知曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
得到曲线的方程为.
思路二：设为曲线上任意一点，
由，化简即得.
（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：
由（1）知抛物线的方程为，
设，得，
应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线的方程为.
由，得.
由，得.
根据，得圆心，半径，
由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定.
试题解析：解法一：（1）设为曲线上任意一点，
依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，
所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线的方程为.
（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：
由（1）知抛物线的方程为，
设，则，
由，得切线的斜率
，
所以切线的方程为，即.
由，得.
由，得.
又，所以圆心，
半径，
.
所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.

解法二：
（1）设为曲线上任意一点，
则，
依题意，点只能在直线的上方，所以，
所以，
化简得，曲线的方程为.
（2）同解法一.