Question

已知椭圆的左右顶点分别为，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为曲线:上任一点（点不同于），直线与直线交于点，为线段的中点，试判断直线与曲线的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）；（2）相切

试题分析：（1）由椭圆的左右顶点分别为，离心率，即可求出的值.即可得到结论.
（2）依题意假设点C坐标，以及点R的坐标，由点A，C，R三点共线即可求得点R的坐标表示.从而表示出点D的坐标，写出直线CD的方程，再计算圆心到该直线的距离，再根据点C在圆上，即可判断直线与圆的位置关系.
（1）由题意可得，，  ∴．     2分
∴，                       3分
所以椭圆的方程为．                      4分
（2）解法一：曲线是以为圆心，半径为2的圆.
设，点的坐标为，       5分
∵三点共线，   ∴，       6分
而，，则，
∴，                               7分
∴点的坐标为，点的坐标为，      8分
∴直线的斜率为，
而，∴，
∴，                                     10分
∴直线的方程为，化简得，
∴圆心到直线的距离，       11分
所以直线与曲线相切．                      12分
解法二：同解法一得，          10分
又，故，即，
所以直线与圆相切．                      12分