Question

已知椭圆的右焦点为，为上顶点，为坐标原点，若△的面积为，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线交椭圆于，两点， 且使点为△的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在直线，且直线的方程为．

试题分析：（1）由题意可得的两个关系式即，解之即可得椭圆的方程；（2）先假设存在直线与椭圆交于，两点，且椭圆的右焦点恰为的垂心．设出，坐标，由（1）中所求椭圆方程，可得，点坐标，利用点恰为的垂心，则，就可得到含，，，的等式，再设直线的方程为，代入椭圆方程，求，，，，均用含的式子表示，再代入上面所求等式中，求，若能求出，则存在直线与椭圆交于，两点，且椭圆的右焦点恰为的垂心，若求不出，则不存在直线与椭圆交于，两点，且椭圆的右焦点恰为的垂心．
试题解析：（1）由题意可得，解得，，故椭圆方程为．   　　
（2）假设存在直线交椭圆于，两点，且为△的垂心，设，
因为，，故．于是设直线的方程为，
由得．
由，得， 且,．     
由题意应有，又，
故，得．
即．     
整理得．
解得或．经检验，当时，△不存在，故舍去．
当时，所求直线存在，且直线的方程为．