Question

已知点A（x₀，y₀）是单位圆O：x²+y²=1上的点，
（1）若点A在第二象限，且y₀=

4

5

时，求以A为切点的圆O的切线方程；
（2）若α的终边过点A，且y₀＞0，x₀+y₀=-

1

5

，求cosα的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：三角函数的求值,直线与圆

分析：（1）把A点坐标代入圆的方程，结合点A的纵坐标求出A点坐标，由两点求出OA所在直线的斜率，则以A为切点的圆O的切线方程可求；
（2）由y₀＞0，x₀+y₀=-

1

5

，x02+y02=1联立求出A点坐标，则cosα的值等于点A的横坐标．

解答： 解：（1）∵点A（x₀，y₀）是单位圆O：x²+y²=1上的点，
∴x02+y02=1，又y₀=

4

5

，
∴x0=±

3

5

．
∵点A在第二象限，
∴x0=-

3

5

．
∴kOA=

y0

x0

=-

4

3

．
则切线的斜率k=-

1

kOA

=

3

4

．
∴切线的方程为y-

4

5

=

3

4

(x+

3

5

)，
即3x-4y+5=0；
（2）由

x0+y0=- 1 5 x02+y02=1 y0＞0

，解得

x0=- 4 5 y0= 3 5

．
∴cosα=-

4

5

．

点评：本题考查了圆的切线方程，考查了三角函数的定义，是中档题．