Question

已知函数f（x）=x³-2（a-1）x²-（a²+b）x-b，（a，b∈R），其图象在点（-1，f（-1））处的切线方程为x-y+1=0
（1）求a、b的值；
（2）求函数x＞0的单调区间，并求f（x）在区间[-2，2]上的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数的运算法则可得：f′（x）=3x²-4（a-1）x-（a²+b），由于函数f（x）的图象在点（-1，f（-1））处的切线方程为x-y+1=0，可得f（-1）=0，f′（-1）=1，解出即可．
（2）利用导数研究函数的单调性极值，并求出区间端点处的函数值进行比较即可得出最大值．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-4（a-1）x-（a²+b），
∵函数f（x）的图象在点（-1，f（-1））处的切线方程为x-y+1=0，
∴f（-1）=0，f′（-1）=1，
可得

-1-2(a-1)+(a2+b)-b=0 3+4(a-1)-(a2+b)=1

解得a=1，b=1．
∴a=1，b=1．
（2）由上知f（x）=x³-2x-1，则f′（x）=3x²-2
令f′（x）=0得x=±

6

3

，则x∈[-∞，-

6

3

]时，f（x）单增．
x∈[-

6

3

，

6

3

]时，f（x）单减．x∈[

6

3

，+∞]时，f（x）单增．＞
当x∈[-2，2]时，最大值只可能在f(-

6

3

)及f（2）处取得
而f(-

6

3

)=

4 6

9

-1＜f（2）=3，
∴0＜x＜2在区间[-2，2]上的最大值为f（2）=3．

点评：本题考查了利用导数研究闭区间上的函数的单调性极值与最值、导数的几何意义与切线的方程，考查了推理能力和计算能力，属于难题．