Question

若存在常数k和b (k、b∈R)，使得函数和对其定义域上的任意实数x分别满足：和，则称直线l：为和的“隔离直线”．已知， (其中e为自然对数的底数)．(1)求的极值；(2)函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)解：∵，∴当时，
∵当时，，此时函数递减；当时，，此时函数递增；∴当时，F(x)取极小值，其极小值为0．   

 (2)解：由(1)可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．设隔离直线的斜率为k，则直线方程为，即   由，可得当时恒成立由得   下面证明当时恒成立．令，则，         当时，．∵当时，，此时函数递增；当时，，此时函数递减；
∴当时，取极大值，其极大值为0． 从而，即恒成立．
∴函数和存在唯一的隔离直线．