Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点．
（1）求异面直线BD₁与CE所成角的余弦值；
（2）求二面角A₁-EC-A的余弦值．

Answer 1

以D为原点，DC为y轴，DA为x轴，DD₁为Z轴建立空间直角坐标系，…（1分）
则A₁（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），D₁（0，0，1），E(1，

1

2

，0)，…（2分）
（1）

BD1

=(-1，-1，1)，

CE

=(1，-

1

2

，0)…（1分）
cos＜

BD1

，

CE

＞=-

15

15

，…（1分）
所以所求角的余弦值为

15

15

…（1分）
（2）D₁D⊥平面AEC，所以

D1D

为平面AEC的法向量，

D1D

=(0，0，1)…（1分）
设平面A₁EC法向量为

n

=(x，y，z)，又

A1E

=(0，

1

2

，-1)，

A1C

=(-1，1，-1)，

n • A1E =0 n • A1C =0

即

1 2 y-z=0 -x+y-z=0

，取

n

=(1，2，1)，…（3分）
所以cos＜

DD1

，

n

＞=

6

6

…（2分）