Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足条件S₈=36，a₃=3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=

1

an

+

1

an+1

+…+

1

a2n

，若对任意正整数n∈N^*，log₂（

1

4

x²+x）-b_n＞0恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的前n项和公式和通项公式根据已知条件求出首项和公差，由此能求出a_n=n．
（2）由已知条件推导出{b_n}为递减数列，从而得到（b_n）_max=b₁=

3

2

，由此得到

1

4

x2+x＞2

3

2

=2

2

，从而能求出x的取值范围．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足条件S₈=36，a₃=3，
∴

8a1+ 8×7 2 d=36 a1+2d=3

，
解得a₁=1，d=1，∴a_n=n．
（2）∵b_n=

1

an

+

1

an+1

+…+

1

a2n

=

1

n

+

1

n+1

+…+

1

2n

，
∴b_n+1-b_n=

1

2n+2

+

1

2n+1

-

1

n

=（

1

2n+2

-

1

2n

）+（

1

2n+1

-

1

2n

）＜0，
∴{b_n}为递减数列，∴（b_n）_max=b₁=1+

1

2

=

3

2

，
∵log2(

1

4

x2+x)-bn＞0恒成立，
∴log2(

1

4

x2+x)＞bmax=

3

2

，
∴

1

4

x2+x＞2

3

2

=2

2

，
∴x2+4x-8

2

＞0，
解得：x＞-2+2

1+2 2

或x＜-2-2

1+2 2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意数列的单调性的灵活运用．