题目内容
有下列命题：
①已知
，
是平面内两个非零向量，则平面内任一向量
都可表示为λ
+μ
，其中λ，μ∈R；
②对任意平面四边形ABCD，点E、F分别为AB、CD的中点，则2
=
+
；
③直线x-y-2=0的一个方向向量为（1，-1）；
④已知
与
夹角为
，且
•
=
，则|
-
|的最小值为
-1；
⑤
∥
是（
•
）•
=
•（
•
）的充分条件；
其中正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
①已知
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
②对任意平面四边形ABCD，点E、F分别为AB、CD的中点，则2
| EF |
| AD |
| BC |
③直线x-y-2=0的一个方向向量为（1，-1）；
④已知
| a |
| b |
| π |
| 6 |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| 3 |
⑤
| a |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
其中正确的是
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义和运算，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
解答：
解：当
与
是共线向量时，根据平面向量基本定理可得①不正确．
对任意平面四边形ABCD，点E、F分别为AB、CD的中点，∴
+
=
，
+
=
；
再根据
=
+
+CF，
=
+
+
，相加可得 2
=
+
，故②正确．
直线x-y-2=0的一个方向向量为（1，1），故③不正确．
已知
与
夹角为
，且
•
=
，则|
|•|
|•cos
=
|
|•|
|=2，
|
-
|=
=
≥
=
=
-1，
故|
-
|的最小值为
-1，故④正确．
若
∥
，则
=λ
，可得（
•
）•
=|
|•|
|•cos＜
，
＞•λ
，
•（
•
）=|
|•|
|•cos＜
，
＞λ|
|=|
|•|
|•cos＜
，
＞•λ
，
∴（
•
）•
=
•（
•
），
∴
∥
是（
•
）•
=
•（
•
）的充分条件，故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
| a |
| b |
对任意平面四边形ABCD，点E、F分别为AB、CD的中点，∴
| FD |
| FC |
| 0 |
| EA |
| EB |
| 0 |
再根据
| EF |
| EB |
| BC |
| EF |
| EA |
| AD |
| DF |
| EF |
| AD |
| BC |
直线x-y-2=0的一个方向向量为（1，1），故③不正确．
已知
| a |
| b |
| π |
| 6 |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| π |
| 6 |
| 3 |
| a |
| b |
|
| a |
| b |
(
|
|
2|
|
4-2
|
| 3 |
故|
| a |
| b |
| 3 |
若
| a |
| c |
| c |
| a |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| b |
| c |
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
∴（
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
∴
| a |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
故答案为：②④⑤．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义和运算，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于中档题．
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