Question

在平面直角坐标系上，设不等式组

x＞0 y＞0 y≤-n(x-3)

所表示的平面区域为D_n，记D_n内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为a_n（n∈N^*）．则a₁=

 

，经推理可得到a_n=

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：根据不等式组的解法，分别讨论x的取值，解出y的取值范围即可得到结论．

解答： 解：当n=1时，不等式为y≤-（x-3）=3-x，
当x=1时，y≤2，此时y=1，或y=2，
当x=2时，y≤1，此时y=1，
当x=3时，y≤0，此时不成立，
即a₁=3．
由x＞0，y＞0，3n-nx＞0，
得0＜x＜3，
∴x=1或x=2，
因此D_n内的整点在直线x=1或x=2上，记直线y=3n-nx为l，
l与直线x=1或x=2的交点的纵坐标分别为y₁=1或y₁=2，
则y₁=3n-n=2n，y₂=3n-2n=n，
∴a_n=2n+n=3n．
故答案为：3，3n．

点评：本题主要考查二元一次不等式组的应用，利用不等式的即可求出y的取值范围．