Question

函数ax²+ax+1＞0在x∈[1，2]恒成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：讨论a和0的关系，即：a=0，a＞0，a＜0：a=0时，显然符合已知条件；a＞0时，二次函数图象ax²+ax+1开口向上，可通过判断该函数在[1，2]上的单调性求出该函数在该区间上的最小值，让最小值大于0，便可求得a的取值范围；对于a＜0时，求a的取值范围的过程同a＞0时的一样，这三种情况求得的a的取值范围求并集即可得到a的取值范围．

解答： 解：①a=0时，1＞0，满足在x∈[1，2]上恒成立；
②a＞0时，函数ax²+ax+1的对称轴是x=-

1

2

；
∴该函数在[1，2]上单调递增；
∴x=1时，该函数取最小值2a+1，则：2a+1＞0，a＞-

1

2

；
∴a＞0；
③a＜0时，函数ax²+ax+1在[1，2]上单调递减；
∴x=2时，该函数取最小值6a+1，则：6a+1＞0，a＞-

1

6

；
∴-

1

6

＜a＜0；
综上得a的取值范围为(-

1

6

，+∞)．
故答案为：(-

1

6

，+∞)．

点评：考查二次函数的对称轴及二次函数的单调性，以及根据函数的单调性求函数的最小值．