Question

14．已知函数f（x）=aln（x+1）-x²在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$＞2恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （12，30]
• B． （-∞，18]
• C． [18，+∞）
• D． （-12，18]

Answer 1

分析 依题意知，不等式$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$＞2恒成立等价转化为f′（x+1）＞2恒成立，分离参数a，利用二次函数的单调性与最值即可求得实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=aln（x+1）-x²，
∴f（x+1）=aln[（x+1）+1]-（x+1）²，
∴f′（x+1）=$\frac{a}{x+2}$-2（x+1），
∵p，q∈（0，1），且p≠q，
∴不等式$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$＞2恒成立?$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{（p+1）-（q+1）}$＞2恒成立?f′（x+1）＞2恒成立，
即$\frac{a}{x+2}$-2（x+1）＞2（0＜x＜1）恒成立，
整理得：a＞2（x+2）²（0＜x＜1）恒成立，
∵函数y=2（x+2）²的对称轴方程为x=-2，∴该函数在区间（0，1）上单调递增，
∴2（x+2）²＜18，
∴a≥18．
故选：C．

点评 本题考查函数恒成立问题，将不等式$\frac{f（p+1）-f（q+1）}{p-q}$＞2恒成立等价转化为f′（x+1）＞2恒成立是解决问题关键，也是难点，突出考查化归思想与理解应用能力，属于难题．