Question

7．已知奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x-2），当x∈（0，1）时，f（x）=3^x，则f（log₃54）=-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根据函数y=f（x）满足条件f（x+2）=f（x-2），求出函数的周期，再运用函数的周期性和奇偶性把要求的值转化为区间（0，1）的函数值．

解答 解：因为f（x+2）=f（x-2），取x=x+2，得：
f（x+2+2）=f（x+2-2），
所以f（x+4）=f（x），
所以函数f（x）是周期为4的函数，
所以f（log₃54）=f（3+log₃2）=f（-1+log₃2），
又因为函数f（x）为奇函数，所以f（-1+log₃2）=-f（1-log₃2），
又x∈（0，1）时，f（x）=3^x，
所以f（1-log₃2）=${3}^{1{-log}_{3}2}$=3×${3}^{{{log}_{3}2}^{-1}}$=3×2^-1=$\frac{3}{2}$，
所以f（log₃54）=-$\frac{3}{2}$．
故答案为：-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了函数的周期性与奇偶性，也考查了转化思想的应用问题，解题的关键是如何把求f（log₃54）的值转化为求（0，1）内的函数值，是综合性题目．