Question

15．经过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于M，N两点，若O为坐标原点，△OMN的面积是$\frac{3}{8}$a²，则该双曲线的离心率（　　）

• A． $\sqrt{10}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{10}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为θ，由两直线的夹角公式，可得tanθ=tan∠MON，求出F到渐近线y=$\frac{b}{a}$x的距离为b，即有|ON|=a，△OMN的面积可以表示为$\frac{1}{2}$•a•atanθ，结合条件可得a，b的关系，再由离心率公式即可计算得到．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
设两条渐近线的夹角为θ，
则tanθ=tan∠MON=$\frac{\frac{b}{a}-（-\frac{b}{a}）}{1+\frac{b}{a}•（-\frac{b}{a}）}$=$\frac{2ab}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
设FN⊥ON，则F到渐近线y=$\frac{b}{a}$x的距离为d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
即有|ON|=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=a，
则△OMN的面积可以表示为$\frac{1}{2}$•a•atanθ=$\frac{{a}^{3}b}{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{3{a}^{2}}{8}$，
解得a=3b，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{9}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查两直线的夹角公式和三角形的面积公式，结合着较大的运算量，属于中档题．