Question

11．圆C：x²+y²=r²，点A（3，0），B（0，4），若点P为线段AB上的任意点，在圆C上均存在两点M，N，使得$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MN}$，则半径r的取值范围[$\frac{4}{3}$，$\frac{12}{5}$）．

Answer 1

分析 设P（m，n），N（x，y），可得M的坐标，代入圆的方程，根据方程组有解得出m，n与r的关系，根据m的范围得出r的范围．

解答 解：直线AB的方程为4x+3y-12=0，
设P（m，n），则0≤m≤3．
设N（x，y），∵$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MN}$，∴M为PN的中点，∴M（$\frac{x+m}{2}$，$\frac{y+n}{2}$），
∵M，N在圆C上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}={r}^{2}}\\{（x+m）^{2}+（y+n）^{2}=4{r}^{2}}\end{array}\right.$．
∵该方程组有解，∴r≤$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$≤3r，即r²≤m²+n²≤9r²，
∵P在线段AB上，∴4m+3n-12=0，即n=4-$\frac{4m}{3}$，
∴r²≤$\frac{25}{9}{m}^{2}-\frac{32}{3}m+16$≤9r²，
即r²≤$\frac{25}{9}{m}^{2}-\frac{32}{3}m+16$≤9r²对一切m∈[0，3]上恒成立，
设f（m）=$\frac{25}{9}{m}^{2}-\frac{32}{3}m+16$，则f（m）在[0，3]上的最大值为f（0）=16，
最小值为f（$\frac{48}{25}$）=$\frac{576}{100}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{r}^{2}≤\frac{576}{100}}\\{16≤9{r}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{4}{3}$≤r≤$\frac{12}{5}$，
又点P为线段AB上的任意点，在圆C上均存在两点M，N，使得$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MN}$，
∴直线AB与圆C相离，∴r＜$\frac{12}{\sqrt{16+9}}$=$\frac{12}{5}$．
∴r的范围是[$\frac{4}{3}$，$\frac{12}{5}$）．
故答案为：[$\frac{4}{3}$，$\frac{12}{5}$）．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，有难度．