Question

已知椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，短半轴长为

6

2

，离心率e=

10

5

，左、右焦点分别为F₁、F₂．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）过F₁作直线l交椭圆于P、Q两点（直线l不过原点O），若椭圆上存在点E，使得四边形OPEQ为平行四边形，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得

b= 6 2 a2=b2+c2 c a = 10 5

，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ） 设x=my-1，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），E（x₀，y₀），椭圆上存在点E，使四边形OPEQ为平行四边形，由

x=my-1 2x2 5 + 2y2 3 =1

，得（6m²+10）y²-12my-9=0，由此能求出直线方程．

解答： 解：（Ⅰ）设所求椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵短半轴长为

6

2

，离心率e=

10

5

，
∴

b= 6 2 a2=b2+c2 c a = 10 5

，…（3分）
解得a2=

5

2

，b2=

3

2

，c2=1，
∴所求椭圆的方程为：

2x2

5

+

2y2

3

=1．…（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知F₁（-1，0）、F₂（1，0），
由题意知直线(x0-a)2+(

x02

2

-

1

4

)2=a2+

1

16

的倾斜角不为0，
故不妨设x=my-1…（7分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），E（x₀，y₀），
椭圆上存在点E，使四边形OPEQ为平行四边形，即

OE

=

OP

+

OQ

成立，则 

x0=x1+x2 y0=y1+y2

，E(x1+x2，y1+y2)，
整理

x=my-1 2x2 5 + 2y2 3 =1

，得（6m²+10）y²-12my-9=0，
△＞0，y1+y2=

12m

6m2+10

，y1•y2=-

9

6m2+10

①，…（8分）
∵点E在椭圆上，∴

2(x1+x1)2

5

+

2(y1+y1)2

3

=1，

2x12

5

+

2y12

3

+

2x22

5

+

2y22

3

+

4x1x2

5

+

4y1y2

3

=1，
又A、B在椭圆上，∴

2x12

5

+

2y12

3

=1，

2x22

5

+

2y22

3

=1．
故12x₁x₂+20y₁y₂+15=0②，
x1x2=(my1-1)(my2-1)=m2y1y2-m(y1+y2)+1③，
由①、②、③解得m²=1，m=±1，…（10分）
所求直线方程为：x-y+1=0，x+y+1=0．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．