Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角和钝角的终边分别与单位圆交于点，若点的横坐标是，点的纵坐标是.

（1）求的值；

（2）求的值.

Answer 1

【答案】（1）－（2）

【解析】

试题分析：（1）由任意角的三角函数的定义得cosα＝，再根据同角三角函数关系及锐角范围求得sinα＝＝．同理由任意角的三角函数的定义得sinβ＝，再根据同角三角函数关系及锐角范围求得cosβ＝－＝－．最后根据两角差余弦公式得cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

＝×(－)＋×＝－．（2）由于的范围为(，)，所以先求的正弦值：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×(－)＋×＝，再根据正弦函数单调性确定的值

试题解析：因为锐角α的终边与单位圆交于A，且点A的横坐标是，

所以，由任意角的三角函数的定义可知，cosα＝，

从而sinα＝＝．

因为钝角β的终边与单位圆交于点B，且点B的纵坐标是，

所以sinβ＝，从而cosβ＝－＝－．

（1）cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

＝×(－)＋×＝－．

（2）sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ

＝×(－)＋×＝．

因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(，)，

所以α＋β＝．