Question

【题目】已知圆和定点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且满足．

（1）求实数间满足的等量关系；

（2）若以为圆心的圆与圆有公共点，试求圆的半径最小时圆的方程；

（3）当点的位置发生变化时，直线是否过定点，如果是，求出定点坐标，如果不是，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）过定点

【解析】

试题分析：（1）由已知Q为切点，可知PQ⊥OQ，结合勾股定理有|PQ|2=|OP|2-|OQ|2及已知|PQ|=|PA|，利用两点间的距离公式可得a，b之间的关系；（2）设圆P的半径为R，由圆P与圆O有公共点，且半径最小，可知R=OP，利用两点间的距离，结合（1）中a，b的关系可转化为关于a的二次形式，结合二次函数的性质可求R的最小值，进而可求圆的方程；法二：圆P与圆O有公共点，圆P半径最小时为与圆O外切的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心为P过原点与l垂直的直线l'与l的交点P0，可求解；（3）首先由圆的方程求得直线方程，将其变形可求得所过定点

试题解析：（1）连为切点，，由勾股定理有.又由已知，故.

即：.

化简得实数间满足的等量关系为：.

（2）解法1：设圆的半径为，

圆与圆有公共点，圆的半径为1，

即且.

而，故当时，

此时, ，.得半径取最小值时圆的方程为．

解法2： 圆与圆有公共点，圆半径最小时为与圆外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心到直线的距离减去1，圆心为过原点与垂直的直线与的交点 .

又 直线的方程为

解方程组，得.即

所以，所求圆方程为.

（3）

化简得，同理

所以，直线MQ的方程为 ，代入上式得