Question

【题目】如图，已知四棱锥的底面为矩形，D为的中点，AC⊥平面BCC1B1．

（Ⅰ）证明：AB//平面CDB1;

（Ⅱ）若AC=BC=1，BB1=,

（1）求BD的长；

（2）求B1D与平面ABB1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；(Ⅱ) （1），（2）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用中位线定理得出DE//AB，即可证得；

（Ⅱ）（1）在中，利用勾股定理运算即可；

（2）以C为原点，CB所在的直线为x轴、CC1为y轴建立空间直角坐标系，利用向量求解线面角即可.

试题解析：

（Ⅰ）证明：连结交于E，连结DE，

∵D、E分别为和的中点，

∴DE//AB,

又∵平面, 平面,

∴AB//平面CDB1;

（Ⅱ）（1）∵AC⊥平面BCC1B1， 平面，

∴,

又∵, ，

∴平面，

∵平面,

∴,

在,∵BC=1， ,

∴;

【注：以上加灰色底纹的条件不写不扣分！】

（2）依题意知AC、BC、CC1两两互相垂直，以C为原点，CB所在的直线为x轴、CC1为y轴建立空间直角坐标系如图示，

易得， ，

， ，

故,,,

设平面的一个法向量为，

由得令得，

设与平面所成的角为，则 ,

即与平面所成的角的正弦值为.

【其它解法请参照给分，如先用体积法求出点D到平面ABB1的距离，（10分）再用公式算与平面所成角的正弦值（12分）】