Question

（12分）已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；
（2）若对于都有成立，试求的取值范围；
（3）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）的单调增区间是,单调减区间是（2）
（3）

试题分析：(1)由题意知直线的斜率为1.
函数的定义域为，，
所以，所以.
所以， .
由解得；由解得.
所以的单调增区间是,单调减区间是.                     ……4分
(2)，由解得；由解得.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.
所以当时，函数取得最小值，.
因为对于都有成立，所以即可.
则. 由解得.  
所以的范围是                                                 ……8分
(3)依题得，则.
由解得；由解得.
所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数.
又因为函数在区间上有两个零点，所以
解得.所以的取值范围是                  ……12分
点评：导数是研究函数性质尤其是单调性的重要工具，研究函数的性质时不要忘记求函数的定义域，在定义域范围内求解；第（3）问函数的零点问题要结合函数的图象进行转化.