Question

（本题满分15分）已知函数．
（1）求函数的图像在点处的切线方程；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；

Answer 1

（1）； （2）整数的最大值是3．

试题分析：（1）解：因为，所以，
函数的图像在点处的切线方程；…………5分
（2）解：由（1）知，，所以对任意恒成立，即对任意恒成立．…………7分
令，则，……………………8分
令，则，
所以函数在上单调递增．………………………9分
因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当，即，当，即，…13分
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．…………14分
所以．故整数的最大值是3．………………………15分
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，像涉及恒成立问题，往往通过研究函数的最值达到解题目的。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。