Question

若函数f（x）=

1

2

+bcosx+csinx的图象过两点（0，1），（

π

2

，1）．
（1）求b，c的值，并化简f（x）；
（2）求函数f（x）的图象的两条对轴之间的最短距离；
（3）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）根据图象过点（0，1）和（

π

2

，1），可解得b=

1

2

，c=

1

2

，从而化简f（x）；
（2）由周期公式可得T=

2π

1

=2π，故函数f（x）的图象的两条对轴之间的最短距离是π．
（3）由x∈[0，

π

2

]，可得x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，即可求出函数f（x）的最小值．

解答： 解：（1）已知函数f（x）=

1

2

+bcosx+csinx的图象过点（0，1）和（

π

2

，1），
则

1

2

+b=1，

1

2

+c=1，可解得b=

1

2

，c=

1

2

∴f（x）=

1

2

+

2

2

sin（x+

π

4

），
（2）由周期公式可得T=

2π

1

=2π，故函数f（x）的图象的两条对轴之间的最短距离是π．
（3）∵x∈[0，

π

2

]
∴x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]
∴f（x）_min=f（

π

4

）=

1

2

+

2

2

sin

π

4

=1．

点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的求法，属于基本知识的考查．