Question

【题目】已知函数

（I）讨论函数的单调性；

（II）当时，证明（其中e为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】（I）答案不唯一，具体见解析（II）证明见解析；

【解析】

（I）求导，分及，讨论与0的关系，得出函数的单调性；

(II) 依题意，只需证明，令，利用导数求其最小值大于0即可得证.

（I）由题意，函数的定义域为，

，

当时，；

当时，；

当时，或；；

当时，；

当时，或；.

综上讨论知：当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增；

当时，在，上单调递增，在上单调递减.

（II）当时，由，只需证明，

令，.

设，则.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

∴当时，取得唯一的极小值，也是最小值.

的最小值是成立.

故成立.