Question

【题目】已知函数，，其中e是自然对数的底数．

（1）若函数的极大值为，求实数a的值；

（2）当a＝e时，若曲线与在处的切线互相垂直，求的值；

（3）设函数，若＞0对任意的x(0，1)恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）a＝1；（2）；（3）[，)．

【解析】

（1）利用导数求出的极大值，即得a的值；

（2）由得到，设，根据函数的单调性和得到；

（3）由题得对任意x(0，1)恒成立，设，得到对任意x(0，1)恒成立，即，设，x(0，1)，求出的最大值得解.

解：（1）因为，则，

因为，所以a＞0，

则当x(0，e)时，，单调递增，

当x(e，)时，，单调递减，

所以当x＝e时，的极大值，解得a＝1；

（2）当a＝e时，，，

则，，

由题意知，，

整理得，

设，则，所以单调递增，

因为，所以；

（3）由题意可知，对任意x(0，1)恒成立，

整理得对任意x(0，1)恒成立，

设，由（1）可知，在(0，1)上单调递增，

且当x(1，)时，，当x(0，1)时，，

若，则，

若，因为，且在(0，1)上单调递增，所以，

综上可知，对任意x(0，1)恒成立，即，

设，x(0，1)，则，所以单调递增，

所以，即a的取值范围为[，)．