Question

【题目】已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线与椭圆交于两点，且椭圆的离心率为，的周长等于.

（1）求椭圆的方程；

（2）当时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）由椭圆的离心率为，得，由的周长等于，可得，结合，可求出椭圆方程.
（2）当直线l的斜率不存在时,不满足条件，当直线l的斜率存在时，设l：，与椭圆方程联立，写出韦达定理，然后由弦长公式可得关于的方程，解出，即得到直线l的方程.

解：（1）由题可得，，即

的周长等于，的周长为

即，所以，

而，解得

则椭圆C的方程为：.

（2）设，由（1）可得，

当直线l的斜率不存在时，l的方程为，代入椭圆方程得：.

所以，即，不符合题意，

当直线l的斜率存在时，可设l：，

联立直线l与椭圆C可得：，

，，

，解得，

所以直线l的方程为或.