Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）在（2）的条件下（提示：可以用第（2）问的结论），对任意的，证明：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）m的取值范围是（3）证明见解析；

【解析】

（1）首先指出函数的定义域，对函数求导得到，之后对进行讨论，分别令和的解集，求得函数的单调增减区间，即得结果；

（2）结合（1）的结论，转化为函数的最大值小于等于零，转化为不等式，利用导数研究函数的单调性，求得结果；

（3）对式子进行变形，得到，令，则，从而研究得到结果.

（1）函数的定义域为，.

①当时，在上恒成立，所以在上单调递增.

②当时，令，得，所以在上单调递增；

令，得，所以在上单调递减.

（2）由题意得，由（1）知，当时，不满足题意，故，则在上单调递增，在上单调递减，

所以，故只需即可.

令，则，

所以当时，；当，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，即.

又∵，

所以，解得.

综上，m的取值范围是.

（3）证明：，

因为，所以，

由（2）得，时，（时，等号成立）

令，则，因为，所以，即.

因为，所以，即.