Question

【题目】已知函数f（x）＝（x﹣1）2﹣alnx（a＜0）.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），且关于x的方程f（x）＝b（b∈R）恰有三个实数根x3，x4，x5（x3＜x4＜x5），求证：2（x2﹣x1）＞x5﹣x3.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）求导得f′(x)，令f′(x)＝0，即2x2﹣2x﹣a＝0，＝4+8a，分两种情况①≤0，②＞0，讨论f(x)单调性；

（2）由题意得a＜0，画出草图，知0＜x3＜x1＜x4＜x2＜x5，0＜x1＜x2＜1，要证：2(x2﹣x1)＞x5﹣x3，即证：2(x2﹣x1)＞(x5+x4)﹣(x3+x4)，只需证：，先证：x3+x4＞2x1.即证x4＞2x1﹣x3，由（1）f(x)单调递减，只需证f(x4)＜f(2x1﹣x3)，即证：f(x3)＜f(2x1﹣x3)，令g(x)＝f(x)﹣f(2x1﹣x)，0＜x＜x1，求导数，分析单调性，可得g(x)＜g(x1)＝0，故f(x)＜f(2x1﹣x)，在(0，x1)恒成立，f(x3)＜f(2x1﹣x3)得证，同理可以证明：x3+x4＜2x2，综上，2(x2﹣x1)＞x5﹣x3，得证.

（1）由题意得＝2(x﹣1)，

令＝0，即2x2﹣2x﹣a＝0，＝4+8a，

①当a时，≤0，≥0，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，

②当a＜0时，＞0，

2x2﹣2x﹣a＝0的两根为x1，x2且0＜x1x2，

当x∈(0，)，(，+∞）时，＞0，f(x)单调递增，

当x∈(，)时，＜0，f(x)单调递减，

综上，当a时，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，

当a＜0时，f（x）在(0，）上单调递增，在(，）上单调递减，在(，+∞)上单调递增.

（2）证明：由题意得a＜0，0＜x3＜x1＜x4＜x2＜x5，0＜x1＜x2＜1，如图，

要证：2(x2﹣x1)＞x5﹣x3，

即证：2(x2﹣x1)＞(x5+x4)﹣(x3+x4)；

只需证：

先证：x3+x4＞2x1.

即证x4＞2x1﹣x3，

又由（1）知f(x)在(x1，x2)上单调递减，

只需证f(x4)＜f(2x1﹣x3)，

而f(x4)＝f(x3)，即证：f(x3)＜f(2x1﹣x3)，

令g(x)＝f(x)﹣f(2x1﹣x)，0＜x＜x1，

＝+＝2x﹣22(2x1﹣x)﹣2，

＝4(x1﹣1)

又2(x1﹣1)0，即x1﹣1，那么，

，而0＜x＜x1，且，

则＞0，故g(x)在(0，x1)单调递增，则g(x)＜g(x1)＝0，

故f(x)＜f(2x1﹣x)，在(0，x1)恒成立，

又0＜x3＜x1，则f(x3)＜f(2x1﹣x3)得证，

同理可以证明：x3+x4＜2x2，

综上，2(x2﹣x1)＞x5﹣x3，得证.