题目内容
【题目】(导学号：05856288)
设函数f(x)＝aln x－x，g(x)＝aex－x，其中a为正实数．
(Ⅰ)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(2，＋∞)上有最小值，求a的取值范围；
(Ⅱ)若函数f(x)与g(x)都没有零点，求a的取值范围．
【答案】(1) a∈(0， 
) (2) a∈(
，e)
【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出a的范围即可；
（Ⅱ）分别求出f（x）的最大值和g（x）的最小值，得到关于a的不等式组，解出即可．
试题解析：
(Ⅰ)f′(x)＝
(x>0，a>0)，
∵0<x<a时，f′(x)>0，x>a时，f′(x)<0，
∴f(x)在(0，a)上是增函数，在(a，＋∞)上是减函数，
又f(x)在(1，＋∞)上是减函数，∴0<a≤1.
又g′(x)＝aex－1，∴x>ln
时，g′(x)>0，x<ln时，g′(x)<0，
∴x＝ln时，g(x)最小，∴ln>2，∴0<a<
，∴a∈(0，).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知x＝a时，f(x)取得最大值，x＝ln，g(x)取得最小值，
由题意可得f(a)<0且g(ln)>0，
∴
∴<a<e即a∈(，e).
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