Question

【题目】已知函数f(x)＝x＋＋2(m为实常数).

(1)若函数f(x)图象上动点P到定点Q(0,2)的距离的最小值为，求实数m的值；

(2)若函数y＝f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；

(3)设m<0，若不等式f(x)≤kx在x∈[，1]时有解，求k的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 或；(2)(－∞，4]；(3)答案见解析.

【解析】试题分析：

(1)设P(x，y)，结合两点之间距离公式有： ，求解关于实数的方程可得或；

(2)由题意知，任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1<x2，有f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)·>0.则m<x1x2.据此可得m的取值范围是(－∞，4].

(3)由f(x)≤kx分离参数可得： 在上能成立，换元令，结合二次函数的性质可得：

当时，k∈[4m＋5，＋∞)；

当时，k∈[m＋3，＋∞).

试题解析：

(1)设P(x，y)，则y＝x＋＋2，

PQ2＝x2＋(y－2)2＝x2＋(x＋)2

＝2x2＋＋2m≥2|m|＋2m＝2，

当m>0时，解得m＝－1；

当m<0时，解得m＝－－1.

所以m＝－1或m＝－－1.

(2)由题意知，任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1<x2，

则f(x2)－f(x1)＝x2＋＋2－(x1＋＋2)＝(x2－x1)·>0.

因为x2－x1>0，x1x2>0，

所以x1x2－m>0，即m<x1x2.

由x2>x1≥2，得x1x2>4，所以m≤4.

所以m的取值范围是(－∞，4].

(3)由f(x)≤kx，得x＋＋2≤kx.

因为x∈[，1]，所以k≥＋＋1.

令t＝，则t∈[1,2]，

所以k≥mt2＋2t＋1.

令g(t)＝mt2＋2t＋1，t∈[1,2]，

于是，要使原不等式在x∈[，1]时有解，当且仅当k≥[g(t)]min(t∈[1,2]).

因为m<0，

所以g(t)＝m(t＋)2＋1－的图象开口向下，

对称轴为直线t＝－>0.

因为t∈[1,2]，所以当0<－≤，

即m≤－时，g(t)min＝g(2)＝4m＋5；

当－>，即－<m<0时，

g(t)min＝g(1)＝m＋3.

综上，当m≤－时，k∈[4m＋5，＋∞)；

当－<m<0时，k∈[m＋3，＋∞).