Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，求证：对任意，函数的图象均在轴上方.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）根据已知条件将问题转化为恒成立，进而转化为求函数的最值即可求解；

（Ⅱ）将不等式恒成立问题运用分离参数法，转化为函数的最值问题，即可得证.

（Ⅰ）根据题意，得（）.因为函数在上是减函数，

所以在上恒成立，即恒成立，

故只需（）.

令函数，则，

当时，，所以函数在上单调递增，

所以，所以，解得；

所以实数的取值范围是.

（Ⅱ）当时，函数（），则.

令函数，则.因为，

所以函数在上单调递增.

又因为，，

所以存在，使，可得，

所以对任意，，即，函数在上单调递减；

对任意，，即，函数在上单调递增，

所以.

要证函数的图象均在轴上方，只需证，

即当时，恒成立，

即在上恒成立.

因为当时，函数是减函数，所以，

则，解得，

所以当时，对任意，函数的图象均在轴上方.