Question

16．定义数列{x_n}：x₁=$\root{3}{3}$，x₂=（$\root{3}{3}$）${\;}^{\root{3}{3}}$，…，x_n=（x_n-1）${\;}^{\root{3}{3}}$（n∈N，且n＞1），则使x_n是整数的n的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 9

Answer 1

分析 由x_n=（x_n-1）${\;}^{\root{3}{3}}$（n∈N，且n＞1），两边取对数可得：$ln{x}_{n}=\root{3}{3}$lnx_n-1，再利用等比数列的通项公式及其对数的运算性质即可得出．

解答 解：由x_n=（x_n-1）${\;}^{\root{3}{3}}$（n∈N，且n＞1），
两边取对数可得：$ln{x}_{n}=\root{3}{3}$lnx_n-1，
∴数列{lnx_n}是等比数列，首项为$\frac{1}{3}ln3$，公比为$\root{3}{3}$．
∴lnx_n=$\frac{1}{3}ln3$×$（\root{3}{3}）^{n-1}$=${3}^{\frac{n-2}{3}}$ln3．
∴x_n=${3}^{{3}^{\frac{n-2}{3}}}$．
∴使x_n是整数的n的最小值是2．
故选：A．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．