Question

11．如图，BC是半圆的直径，O是圆心，OA是与BC垂直的圆的半径，P为半圆上一点（P与A、B、C不重合）．过P向BC作垂线，垂足为Q．OP和AQ的交点为M．试问：当P移动时，M的轨迹是怎样的曲线？说明理由．

Answer 1

分析 建立如图所示的坐标系，设圆的半径为r，P（m，n）（0＜m＜r），则直线OP的方程为y=$\frac{n}{m}$x，直线AQ的方程为$\frac{x}{r}$+$\frac{y}{n}$=1，求出n=$\frac{yr}{x-r}$，m=$\frac{xr}{x-r}$，利用m²+n²=r²，即可得出结论．

解答 解：建立如图所示的坐标系，设圆的半径为r，P（m，n）（0＜m＜r），则
直线OP的方程为y=$\frac{n}{m}$x，直线AQ的方程为$\frac{x}{r}$+$\frac{y}{n}$=1，
∴n=$\frac{yr}{x-r}$，m=$\frac{xr}{x-r}$，
∵m²+n²=r²，
∴（$\frac{xr}{x-r}$）²+（$\frac{yr}{x-r}$）²=r²，
∴y²=-2rx+r²，
∴M的轨迹是抛物线．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．