题目内容

已知数列{a_k}满足： $数学公式$ 且 $数学公式$ （k=1，2，…，n-1）其中n是一个给定的正整数．
（1）证明：数列{a_k}是一个单调数列；
（2）证明：对一切1＜m＜n，m∈N有： $数学公式$ ．

证明：（1）∵ $\text{[math]}$ （k=1，2，…，n-1），∴a_k≠0．∵ $\text{[math]}$ ，
∴a_k+1-a_k= $\text{[math]}$ -a_k= $\text{[math]}$ ＞0，故数列{a_k}是一个递增数列，即数列{a_k}是一个单调数列．
（2）由递推公式，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
令k=1，2，3，…，n-1，有
$\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
…
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，∴a_n＜1，
从而有： $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
令k=1，2，3，…，m-1，有
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
…
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 代入整理得 $\text{[math]}$
∴对一切1＜m＜n，m∈N有： $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，知a_k≠0，由 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ （k=1，2，…，n-1），知a_k+1-a_k= $\text{[math]}$ -a_k= $\text{[math]}$ ＞0，由此能够证明数列{a_k}是一个单调数列．
（2）由递推公式，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，令k=1，2，3，…，n-1，得： $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，再令k=1，2，3，…，m-1，能够证明对一切1＜m＜n，m∈N有： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列是单调数列的证明，考查不等式的证明．本题考查数列和不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．