题目内容
已知数列{ak}满足：
且
（k=1，2，…，n﹣1）其中n是一个给定的正整数．
（1）证明：数列{ak}是一个单调数列；
（2）证明：对一切1＜m＜n，m∈N有：
．
且（k=1，2，…，n﹣1）其中n是一个给定的正整数．（1）证明：数列{ak}是一个单调数列；
（2）证明：对一切1＜m＜n，m∈N有：
．证明：（1）∵
（k=1，2，…，n﹣1），
∴ak≠0．
∵
，∴ak+1﹣ak=
﹣ak=
＞0，
故数列{ak}是一个递增数列，即数列{ak}是一个单调数列．
（2）由递推公式，得
=
，
∴
，
令k=1，2，3，…，n﹣1，
有
＜
，
＜
，…
，
∴
，
∴
，
∴an＜1，
从而有：
，
∴
，
令k=1，2，3，…，m﹣1，
有
，
，…
，
∴
，
将
代入整理得
∴对一切1＜m＜n，m∈N有：
．
（k=1，2，…，n﹣1），∴ak≠0．
∵
，∴ak+1﹣ak=﹣ak=＞0，故数列{ak}是一个递增数列，即数列{ak}是一个单调数列．
（2）由递推公式，得
=，∴
，令k=1，2，3，…，n﹣1，
有
＜，＜，…， ∴
，∴
，∴an＜1，
从而有：
，∴
，令k=1，2，3，…，m﹣1，
有
，，…， ∴
，将
代入整理得∴对一切1＜m＜n，m∈N有：
．
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