Question

已知数列{a_k}满足：a1=

1

2

且ak+1=ak+

1

n

a

2 k

（k=1，2，…，n-1）其中n是一个给定的正整数．
（1）证明：数列{a_k}是一个单调数列；
（2）证明：对一切1＜m＜n，m∈N有：

n+1

2n-m+3

＜am＜

n

2n-m+1

．

Answer 1

分析：（1）由ak+1=ak+

1

n

a

2 k

，知a_k≠0，由a1=

1

2

且ak+1=ak+

1

n

a

2 k

（k=1，2，…，n-1），知a_k+1-a_k=ak+

1

n

a

2 k

-a_k=

1

n

a

2 k

＞0，由此能够证明数列{a_k}是一个单调数列．
（2）由递推公式，得

1

ak+1

=

n

ak(n+ak)

=

1

ak

-

1

n+ak

，

1

ak

-

1

ak+1

＜

1

n

，令k=1，2，3，…，n-1，得：

1

ak

-

1

ak+1

=

1

n+ak

＞

1

n+1

，所以

1

n+1

＜

1

ak

-

1

ak+1

＜

1

n

，再令k=1，2，3，…，m-1，能够证明对一切1＜m＜n，m∈N有：

n+1

2n-m+3

＜am＜

n

2n-m+1

．

解答：证明：（1）∵ak+1=ak+

1

n

a

2 k

 （k=1，2，…，n-1），∴a_k≠0．∵a1=

1

2

，
∴a_k+1-a_k=ak+

1

n

a

2 k

-a_k=

1

n

a

2 k

＞0，故数列{a_k}是一个递增数列，即数列{a_k}是一个单调数列．
（2）由递推公式，得

1

ak+1

=

n

ak(n+ak)

=

1

ak

-

1

n+ak

，
∴

1

ak

-

1

ak+1

＜

1

n

，
令k=1，2，3，…，n-1，有

1

a1

-

1

a2

＜

1

n

，

1

a2

-

1

a3

＜

1

n

，
…

1

an-1

-

1

an

＜

1

n

，
∴

1

a1

-

1

an

＜

n-1

n

，
∴

1

a1

-

1

an

＜

n-1

n

，∴a_n＜1，
从而有：

1

ak

-

1

ak+1

=

1

n+ak

＞

1

n+1

，
∴

1

n+1

＜

1

ak

-

1

ak+1

＜

1

n

，
令k=1，2，3，…，m-1，有

1

n+1

＜

1

a1

-

1

a2

＜

1

n

，

1

n+1

＜

1

a2

-

1

a3

＜

1

n

，
…

1

n+1

＜

1

am-1

-

1

am

＜

1

n

，
∴

m-1

n+1

＜

1

a1

-

1

am

＜

m-1

n

，将a1=

1

2

代入整理得

n+1

2n-m+3

＜am＜

n

2n-m+1

∴对一切1＜m＜n，m∈N有：

n+1

2n-m+3

＜am＜

n

2n-m+1

．

点评：本题考查数列是单调数列的证明，考查不等式的证明．本题考查数列和不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．