题目内容

（2010•湖北模拟）已知数列|an|满足：an=n+1+
8
7
an+1，且存在大于1的整数k使ak=0，m=1+
8
7
a1．
（1）用a3表示m（不必化简）
（2）用k表示m（化成最简形式）
（3）若m是正整数，求k与m的值．
分析：（1）根据数列|an|满足：an=n+1+
8
7
an+1，逐一迭代可求；
（2）由于m=1+2×
8
7
+3×(
8
7
)2+…+k×(
8
7
)k-1，所以
8
7
m=1×
8
7
+2×(
8
7
)2+3×(
8
7
)3+…+k×(
8
7
)k，错位相减可求；
（3）由（2）知m=49+(k-7)×
8k
7k-1
，因为，k＞1时，|k-7|＜7n-1，根据m∈N*故此有k-7=0，从而可求．
解答：解：（1）m=1+
8
7
a1=1+
8
7
(2+
8
7
a2)
=1+2×
8
7
+(
8
7
)2a2
=1+2×
8
7
+(
8
7
)2[3+
8
7
a3]
=1+2×
8
7
+3×(
8
7
)2+(
8
7
)3a3…（4分）
（2）m=1+2×
8
7
+3×(
8
7
)2+…+k×(
8
7
)k-1①…（6分）
∴
8
7
m=1×
8
7
+2×(
8
7
)2+3×(
8
7
)3+…+k×(
8
7
)k②
由①-②得-
1
7
m=1+1×
8
7
+(
8
7
)2+…+(
8
7
)k-1-k×(
8
7
)k…（8分）
∴-
1
7
m=
(
8
7
)k-1
8
7
-1
-k×(
8
7
)k∴m=49+(k-7)×
8k
7k-1
…（10分）
（3）由k＞1知|k-7|＜7n-1
又∵m∈N*故此有k-7=0
故k=7，m=49…（13分）
点评：本题的考点是数列递推式，主要考查迭代法，考查错位相减法求数列的和，关键是题意的等价转化．
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8
7
an+1，且存在大于1的整数k使ak=0，m=1+
8
7
a1．
（1）用k表示m（化成最简形式）；
（2）若m是正整数，求k与m的值；
（3）当k大于7时，试比较7（m-49）与8（k2-k-42）的大小．

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