题目内容
求证：方程ax2+2x+1=0有且只有一个负实数根的充要条件．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断
专题：简易逻辑
分析：根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可．
解答：
解：必要性：若方程ax2+2x+1=0有且仅有一个负根．
当a=0时，适合条件．
当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有实根，
则△=4（1-a）≥0，∴a≤1，
当a=1时，方程有一个负根x=-1．
若方程有且仅有一负根，则
，∴a＜0，
即a≤0或a=1．
充分性：当a=0时，方程变为2x+1=0，其根为x=-
，方程只有一个负根；
当a=1时，方程为x2+2x+1=0．其根为x=-1，
方程只有一个负根．
当a＜0时，△=4（1-a）＞0，方程有两个不相等的根，且
＜0，方程有一正一负根．
综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为a≤0或a=1
当a=0时，适合条件．
当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有实根，
则△=4（1-a）≥0，∴a≤1，
当a=1时，方程有一个负根x=-1．
若方程有且仅有一负根，则
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即a≤0或a=1．
充分性：当a=0时，方程变为2x+1=0，其根为x=-
| 1 |
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当a=1时，方程为x2+2x+1=0．其根为x=-1，
方程只有一个负根．
当a＜0时，△=4（1-a）＞0，方程有两个不相等的根，且
| 1 |
| a |
综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为a≤0或a=1
点评：本题借助充分与必要条件考查了一元二次方程根的存在问题，属于中档题．
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