Question

P是椭圆

x2

100

+

y2

64

=1上的一点，F₁和F₂是焦点，若∠F₁PF₂=60°，则△PF₁F₂的面积为（　　）

• A、

  62 3

  3

• B、

  64 3

  3

• C、

  60 3

  3

• D、

  46 3

  3

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,解三角形,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据椭圆的定义，得PF₁+PF₂=2a=20…①，再在△F₁PF₂中用余弦定理，得PF₁²+PF₂²-PF₁•PF₂=144…②．由①②联解，得PF₁•PF₂，最后用根据正弦定理关于面积的公式，可得△PF₁F₂的面积．

解答： 解：∵椭圆

x2

100

+

y2

64

=1，
∴a²=100，b²=64．可得a=10，c²=100-64=36，即c=6．
∵P是椭圆

x2

100

+

y2

64

=1的一点，F₁、F₂是焦点，
∴根据椭圆的定义，得PF₁+PF₂=2a=20…①
又∵△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°且F₁F₂=2c=12，
∴根据余弦定理，得F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos60°=144
即PF₁²+PF₂²-PF₁•PF₂=144…②
∴①②联解，得PF₁•PF₂=

256

3

，
根据正弦定理，得△PF₁F₂的面积为：S=

1

2

PF₁•PF₂sin60°=

64 3

3

．
故选B．

点评：本题给出椭圆上一点对两个焦点的张角为60°，求椭圆两焦点与该点构成三角形的面积，着重考查了椭圆的简单性质和正弦定理等知识点，属于中档题．