Question

19．某校在2015年11月份的高三期中考试后，随机地抽取了50名学生的数学成绩并进行了分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间．现将结果按如下方式分为6组，第一组[80，90），第二组[90，100），…，第六组[130，140]，得到如图所示的频率分布直方图．
（I）求a的值；
（II）这50名学生中成绩在120分以上的同学中任意抽取3人，该3人在130分（含130分）以上的人数记为X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （I）根据频率分布直方图频率和为1的性质，能求出成绩在[120，130）的频率．
（II）根据频率分布直方图得X的可能取值为0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答 解：（I）根据频率分布直方图，得：
成绩在[120，130）的频率为：
1-（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）
=1-0.88=0.12…（4分）
（II）根据频率分布直方图得，这50人中成绩在130分以上（包括130分）的有0.08×50=4人，
在[120，140]的学生共有0.12×50+0.08×50=10人…（5分）
所以X的可能取值为0、1、2、3…（6分）
${P}（{{X}=0}）=\frac{C_6^3}{{C_{10}^3}}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$，
${P}（{{X}=1}）=\frac{C_6^2•C_4^1}{{C_{10}^3}}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$，
${P}（{{X}=2}）=\frac{C_6^1•C_4^2}{{C_{10}^3}}=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}$，
${P}（{{X}=3}）=\frac{C_4^3}{{C_{10}^3}}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}$…（10分）
所以X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

数学期望值为${E}{X}=0×\frac{1}{6}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{30}=1.2$．…（12分）

点评 本题考查频率分在由直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型．