Question

11．如图1，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=$\frac{1}{2}$CP=2，D是CP的中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥CD．

（Ⅰ）若E是PC的中点，求证：AP∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面PCD⊥平面ABCD；
（Ⅲ）求二面角A-PB-C的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OE，推导出OE∥AP，由此能证明AP∥平面BDE．
（Ⅱ）推导出AD⊥PD，AD⊥CD，从而AD⊥平面PCD，由此能证明平面PCD⊥平面ABCD．
（Ⅲ）以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PB-C的大小．

解答 证明：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OE，
在正方形ABCD中，O为AC的中点，又因为E为PC的中点，
所以OE为△PAC的中位线，
所以OE∥AP，
又因为OE?平面BDE，AP?平面BDE，
所以AP∥平面BDE．
（Ⅱ）由已知可得AD⊥PD，AD⊥CD，
又因为PD∩CD=D，PD，CD?平面PCD，
所以AD⊥平面PCD，
又因为AD?平面ABCD，
所以平面PCD⊥平面ABCD．
解：（Ⅲ）由（Ⅱ）知AD⊥平面PCD，所以AD⊥PD，又因为PD⊥CD，且AD∩CD=D，
所以PD⊥平面ABCD，
所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
所以$\overrightarrow{AP}=（-2，0，2）$，$\overrightarrow{AB}=（0，2，0）$，
设平面APB的一个法向量为$\overrightarrow m=（a，b，c）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{AP}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{AB}=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}2b=0\\-2a+2c=0\end{array}\right.$
令a=1，则c=1，从而$\overrightarrow m=（1，0，1）$，
同理可求得平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow n=（0，1，1）$，
设二面角A-PB-C的大小为θ，易知$θ∈（\frac{π}{2}，π）$，
所以$cosθ=-|cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞|=-\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}=-\frac{1}{2}$，所以$θ=\frac{2π}{3}$，
所以二面角A-PB-C的大小为$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．