题目内容
已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线
（I）求椭圆E的方程；
（II）过点C（﹣1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使
恒为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（I）求椭圆E的方程；
（II）过点C（﹣1，0），斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点，请问x轴上是否存在点M，使
恒为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（I）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=
，c=e
a=
×
=
，
故b=
=
=
，
所以，椭圆E的方程为
+
=1，即x2+3y2=5．
（II）假设存在点M符合题意，设AB：y=k（x+1），
代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），则
x1+x2=﹣
，x1x2=
；
∴
=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2=m2+2m﹣
﹣
，
要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=﹣
；
所以，存在点M（﹣
，0）满足题意．
，c=ea=×=，故b=
==，所以，椭圆E的方程为
+=1，即x2+3y2=5．（II）假设存在点M符合题意，设AB：y=k（x+1），
代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），则
x1+x2=﹣
，x1x2=；∴
=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2=m2+2m﹣﹣，要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=﹣
；所以，存在点M（﹣
，0）满足题意．
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