Question

（2012•邯郸一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右焦点F的最短距离为

2

-1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点E（2，0）且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于M、N两点，P是点M关于x轴的对称点，证明：N，F，P三点共线．

Answer 1

分析：（I）由题可知：

2b=2c a-c= 2 -1 a2=b2+c2

，解方程可求a，b，进而可求椭圆方程
（II）要证明P，F，N三点共线，只要证明

FN

∥

FP

即可

解答：解（I）由题可知：

2b=2c a-c= 2 -1 a2=b2+c2

  …（2分）
解得a=

2

，c=1，b=1
∴椭圆C的方程为C：

x2

2

+y2=1…（4分）
（II）设直线L：y=k（x-2），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₁，-y₁），F（1，0），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0．…（6分）
所以x1+x2=

8k2

1+2k2

，x1x2=

8k2-2

1+2k2

．…（8分）
而

FN

=(x2-1，y2)=（x₂-1，kx₂-2k），

FP

=(x1-1，-y1)=（x₁-1，-kx₁+2k），…（10分）
∵（x₁-1）（kx₂-2k）-（x₂-1）（-kx₁+2k）=k[2x₁x₂-3（x₁+x₂）+4]
=k（

16k2-4

1+2k2

-

24k2

1+2k2

+4）=0
∴

FN

∥

FP

∴P，F，N三点共线 …（12分）

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程，方程的根与系数关系的应用及向量的共线与点共线的相互转化关系的应用．