Question

（2012•江门一模）已知椭圆C的中心在原点，长轴在x轴上，经过点A（0，1），离心率e=

2

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l_n：y=

1

n+1

（n∈N*）与椭圆C在第一象限内相交于点A_n（x_n，y_n），记an=

1

2

x

2 n

，试证明：对?n∈N*，a1•a2•…•an＞

1

2

．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的标准方程及其离心率计算公式及即可得出a，b；
（2）把直线的方程与椭圆的方程联立即可解得点，进而得到，令n分别取1，2，…，n．再相乘通过放缩即可得出结论．

解答：（1）解：依题意，设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
则

1 b2 =1 e= c a = a2-b2 a = 2 2

，解得b=1，a=

2

，
椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）证明：

x2 2 +y2=1 y= 1 n+1

，得xn2=

2n(n+2)

(n+1)2

，
an=

1

2

x

2 n

=

n(n+2)

(n+1)2

，
所以a1•a2•…•an=

1×3

22

×

2×4

32

×

3×5

42

×…×

n(n+2)

(n+1)2

=

1×(n+2)

2(n+1)

＞

1

2

．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、数列不等式等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力及综合解决问题的能力．