Question

8．已知正项等比数列{a_n}前n项和为S_n，且满足S₃=$\frac{7}{2}$，a₆，3a₅，a₇成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列b_n=$\frac{1}{（2lo{g}_{2}{a}_{n+1}+3）^{2}-1}$，且数列b_n的前n项的和T_n，试比较T_n与$\frac{1}{4}$的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等差数列和等比数列的性质即可求出公比，问题得以解决；
（Ⅱ）根据对数的运算性质和裂项求和以及放缩法即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q，
因为a₆，3a₅，a₇成等差数列，
所以6a₅=a₆+a₇，
所以6a₅=qa₅+q²a₅．
因为a₅≠0，
所以q²+q-6=0，
又a_n＞0，
所以q=2．
由S₃=$\frac{7}{2}$，
解得a₁=$\frac{1}{2}$，
所以通项公式为a_n=$\frac{1}{2}$•2^n-1=2^n-2．
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{（2lo{g}_{2}{a}_{n+1}+3）^{2}-1}$
=$\frac{1}{（2lo{g}_{2}{a}_{n+1}+3）^{2}-1}$
=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$
=$\frac{1}{4{n}^{2}+4n}$
=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
所以T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{4}$

点评 本题考查了等差数列和等比数列的性质以及裂项求和和放缩法，属于中档题．