Question

在双曲线

x2

4

-

y2

12

=1的右支上求一点 P，使它到左焦点的距离是它到右准线距离的4倍．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的a，b，c，e，及右准线方程，设P（m，n）到右准线距离为d，运用双曲线的第二定义，得到P到右焦点的距离为2d，由条件可得，d=2，再由点到直线的距离公式可得m=3，代入双曲线方程，解得n，进而得到P的坐标．

解答： 解：双曲线

x2

4

-

y2

12

=1的a=2，b=2

3

，
则c=

4+12

=4，e=

c

a

=2，右准线方程为x=

a2

c

，即有x=1，
设P（m，n）到右准线距离为d，
根据第二定义，可得P到右焦点的距离为ed，
∵右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的4倍，
∴P到左焦点的距离为4d，
∴4d-ed=2a=4，
∴d=

4

4-e

=

4

2

=2，即m-1=2，解得m=3，
则n²=12×（

9

4

-1）=15，即有n=±

15

．
则所求P的坐标为（3，±

15

）．

点评：本题考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．