Question

（本小题共13分）
用表示不大于的最大整数．令集合，对任意和，定义，集合，并将集合中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求证：在数列中，不大于的项共有项．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知知
．
所以．      ………………4分
（Ⅱ）因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排成而成，
所以我们可设计如下表格

	1	2	3	4	5	‥‥
1					‥‥		‥‥
2					‥‥
3				‥‥	‥‥
4				‥‥	‥‥
5				‥‥	‥‥

从上表可知，每一行从左到右数字逐渐增大，每一列从上到下数字逐渐增大．
且‥‥
所以 ．  ………………8分
（Ⅲ）任取，，
若，则必有．
即在（Ⅱ）表格中不会有两项的值相等．
对于而言，若在（Ⅱ）表格中的第一行共有的数不大于，
则，即，所以，
同理，第二行共有的数不大于，有，
第行共有的数不大于，有．
∴在数列中，不大于的项共有项，即项．…13分

略