Question

6．已知函数f（x）=|x+1|+|x-2|-m
（1）当m=5时，求f（x）＞0的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）≥0的解集是R，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）不等式f（x）≥0，即|x+1|+|x-2|-m≥0，利用绝对值三角不等式求得|x+1|+|x-2|≥3，可得m≤3，由此求得m的取值范围．

解答 解 （1）由|x+1|+|x-2|＞5，
可得 $\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{x+1+x-2＞5}\end{array}\right.$①，
或 $\left\{\begin{array}{l}{-1≤x＜2}\\{x+1+2-x＞5}\end{array}\right.$②，
或 $\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x-1-x+2＞5}\end{array}\right.$③，
解①求得 x＞3，解②求得 x∈∅，解③求得x＜-2，
可解得f（x）＞0的解集为（-∞，-2）∪（3，+∞）．
（2）由题意，不等式|x+1|+|x-2|-m≥0的解集是R，
则m≤|x+1|+|x-2|在R上恒成立，
而|x+1|+|x-2|≥|x+1-（x-2）|=3，
故m≤3．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．