Question

已知函数y=

2x2+ax+b

x2+1

的值域[1，3]，求a、b的值．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意，把y=

2x2+ax+b

x2+1

化为（2-y）x²+ax+（b-y）=0；  当y≠2时，利用△≥0时，由根与系数的关系式求出a、b的值；当y=2时，验证此时a、b的值是否成立即可．

解答： 解：∵y=

2x2+ax+b

x2+1

的定义域为R，
∴2x²+ax+b=yx²+y，
整理得（2-y）x²+ax+（b-y）=0； 
当y≠2时，
△=a²-4（2-y）（b-y）=-4y²+（8+4b）y+（a²-8b）≥0，
由题意，1，3为该方程的两根，
∴1+3=-

8+4b

-4

…①，
1×3=

a2-8b

-4

…②；
由①②解得a=±2，b=2；
当y=2时，（y-2）x²-ax+（y-b）=0化为ax+b=2，
即±2x+2=2，∴x=0满足要求；
综上，a=±2，b=2．

点评：本题考查了利用一元二次方程的判别式求值域的问题，解题时应把函数解析式化为关于y的一元二次方程，利用判别式求解即可，是中档题．